- Ядро (алгебра)
-
В различных разделах математики ядром отображения называется некоторое множество , в некотором смысле характеризующее отличие от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество всегда должно быть тривиально. Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ и фактормножество .
Содержание
Ядро линейного отображения
Ядром линейного отображения называется прообраз нулевого элемента пространства :
является подпространством в . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ изоморфен фактору пространства по ядру :
Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:
а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:
Теория матриц
Любую прямоугольную матрицу размера , содержащий элементы поля (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор умножения векторов слева на матрицу:
Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с неизвестными
можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора , а задача о решении однородной системы уравнений () сводится к поиску ядра отображения .
Пример
Пусть будет линейным отображением и:
Тогда его ядро является векторным подпространством:
Гомоморфизм групп
Если — гомоморфизм между группами, то образует нормальную подгруппу .
Гомоморфизм колец
Если — гомоморфизм между кольцами, то образует идеал кольца .
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
См. также
Категория:- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.